LOGIKA MATEMATIKA

LOGIKA PROPOSISIONAL

Mata Kuliah :

Matematika & Ilmu Alamiah Dasar

Nama Pengajar :

Ishaq

Disusun oleh :

DWINA AYU ANDIRA (12515078)

ELIZSARA MAENSA RIADAME SITOMPUL (17515821) ELSA RISKI DESIANA (12515190)

FAIRUZ FAKHRANA LINATI (12515396) FARIS ARIEF SANTOSO (12515523)

ZAHRA ORCHIDIELLA HANUM (17515379)

Kelas : 1PA08

FAKULTAS PSIKOLOGI UNIVERSITAS GUNADARMA

2015/2016

A.  LOGIKA PROPOSISIONAL

Proposisi ialah kalimat logika yang merupakan pernyataan tentang hubungan antara dua atau beberapa hal yang dapat dinilai benar atau salah..

Setiap proposisi memiliki unsur :

a.    Term subyek  :  hal yang tentang pengakuan atau pengingkaran ditujukan. Term subyek dalam  sebuah  proposisi  disebut  subyek  logis.  Ada  perbedaan  antara subyek  logis  dengan  subyek  dalam  sebuah  kalimat.  Tentang  subyek logis harus ada penegasan/pengingkaran sesuatu tentangnya.

b.   Term predikat :  isi pengakuan atau pengingkaran itu sendiri (apa yang diakui atau diingkari). Term predikat dalam sebuah proposisi adalah predikat logis yaitu apa yang ditegaskan/diingkari tentang subyek.

c.    Kopula           :  penghubung antara term subyek dan term predikat dan sekaligus

memberi bentuk (pengakuan atau pengingkaran) pada hubungan yang terjadi.

Jadi fungsi kopula ada tiga:

·    Untuk menghubungkan subyek dan predikat

·    Untuk menyatakan subyek itu sungguh-sungguh berada/exist

·    Untuk menyatakan cara mana subyek berada.

B.   SISTEM LAMBANG LOGIKA PROPOSISIONAL

Pernyataan yang menyatakan pikiran tunggal disebut pernyataan sederhana,sedangkan pernyataan yang terdiri dari beberapa pernyataan sederhana dengan berbagai macam penghubung disebut pernyataan majemuk.

Contoh:

1.    Proposisi tunggal

Misalnya :

1)  Lia anak yang rajin

2)  Lia kuliah di Gunadarma

2.   Proposisi majemuk

3)  Lia anak yang rajin atau Lia kuliah di Gunadarma

4)  Lia anak rajin dan Lia kuliah di Gunadarma

Lambang yang digunakan dalam logika yaitu :

1.   Huruf p,q,r,…untuk menyatakan pernyataan

2.   B,T atau 1 (B=benar,T=true)

3.   S,F atau 0 (S=salah,F=false)

Kalimat yang tidak bisa dijadikan sebuah proposisi:

1.   Kalimat perintah

2.   Kalimat harapan

3.   Kalimat pertanyaan

4.   Kalimat keheranan

Kalimat  yang bisa  dijadikan  proposi  berupa kalimat  berita. Berikut  ini  adalah  beberapa contoh dari proposisi :

1.   Bilangan biner adalah bilangan radix 10

2.   3 + 7 < 12

3.   Ada air di matahari

4.   Habibi adalah mantan presiden Indonesia

LIMA OPERATOR LOGIKA PROPOSISIONAL

No	Perangkai	Nama	Simbol
1.	Dan, tetapi, meskipun	Konjungsi	Λ
2.	Atau	Disjungsi	V
3.	Tidak/Bukan	Negasi	~
4.	Jika/kalau… maka....	Implikasi	→
5.	Jika dan hanya jika	Biimplikasi	↔

Diumpamakan :

p = Lia anak yang rajin

q = Lia kuliah di Gunadarma

Bila dimajemukkan :

pV q  =  Lia anak yang rajin atau Lia kuliah di Gunadarma p Λ q  =  Lia anak rajin dan Lia kuliah di Gunadarma

Logika Proposisi juga mengenal kurung :  (......), dimana apa yang terdapat didalam kurung akan dipandang sebagai satuan.

~ (p V q)                     dibaca : Negasi   dari p atau q

~ p V q                       dibaca : Negasi p atau q

(p Λ q) → r                 dibaca : Jika p dan q, maka r

p Λ ( q → r )               dibaca : p dan jika q maka r

C.  PERAKIT

1.  Negasi

Dari sebuah pernyataan tunggal (majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru   berupa   ingkaran   dari   pernyataan   itu.   ingkaran   disebut   juga   negasi   atau penyangkalan.

Jika  suatu  pernyataan  p  benar,  maka  negasinya  p  salah,  dan  jika  sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya p benar.

Contoh :

1.   p          : kayu memuai bila dipanaskan (S)

~ p       : kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)

2.   r           : -7merupakan bilangan negatif (B)

~ r       : -7 bilangan positif (ingkaran seperti ini salah)

-7 bukan bilangan negatif  (S) (seharusnya)

Nilai  kebenaran,  jika  p  suatu  pernyataan  benilai  benar,  maka   ~p  bernilai  salah  dan sebaliknya jika p bernilai salah maka ~p bernilai benar.

Tabel Kebenaran

2.  Konjungsi

Gabungan  dua  pernyataan  tunggal  yang  menggunakan  kata penghubung  “dan” sehingga terbentuk  pernyataan majemuk  disebut konjungsi. Konjungsi mempunyai kemiripan dengan operasi irisan () pada  himpunan.  Sehingga  sifat-sifat  irisan  dapat digunakan  untuk mempelajari  bagian  ini.

Contoh :

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk pq berikut ini!

a.    P        :  100 + 500 = 800

q          :  4 adalah faktor dari 12

b.   P         :  Pulau Bali dikenal sebagai pulau Dewata q           :  625 adalah bilangan kuadrat

Jawaban:

a.   p salah, q benar

p   q : 100 + 500 = 800 dan 4 adalah faktor dari 12 (Salah) Jadi,  (p  q) = S

b.   (p) = B,   (q) = B

p   q  :  Pulau  Bali  dikenal  sebagai  pulau  Dewata  dan  625  adalah  bilangan  kuadrat

(benar).

Jadi, (p  q) = B

3.  Disjungsi

Selain menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika matematika dapat dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'. Untuk memahaminya,

perhatikan tabel di bawah ini:

p	q	p v q	Logika matematika
B	B	B	Jika p benar dan q benar maka p atau q adalah benar
B	S	B	Jika p benar dan q salah maka p atau q adalah benar
S	B	B	Jika p salah dan q benar maka p atau q adalah benar
S	S	S	Jika p salah dan q salah  maka p atau q adalah salah

Karena di dalam disjungsi menggunakan konsep ‘atau’ artinya apabila salah satu atau kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya akan dianggap benar. Pernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki nilai salah.

A.  INKLUSIF

Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true”

Contoh  :

p           : 7 adalah bilangan prima q           : 7 adalah bilangan ganjil

p V q   : 7 adalah bilangan prima atau ganjil

Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil.

B.   EKSLUSIF

Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.

Contoh :

p           : Saya akan melihat pertandingan bola di TV.

q           : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan.

p V q    : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.

Hanya salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika “Saya

akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.

4.  Perakit Kondisional (Implikasi)

Implikasi adalah kalimat majemuk yang menggunakan kata hubung "JIKA" p "MAKA" q.  Implikasi  disebut juga kalimat bersyarat  tunggal artinya  jika kalimat p bernilai benar maka kalimat q pun akan bernilai benar juga. Notasi dari implikasi adalah

"=>".

p	q	p => q	Logika matematika
B	B	B	Jika awalnya BENAR lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
B	S	S	Jika awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap SALAH
S	B	B	Jika awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
S	S	B	Jika awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap BENAR

Notasi pÞq dapat dibaca :

1. Jika p maka q

2. q jika p

3. p adalah syarat cukup untuk q

4. q adalah syarat perlu untuk p

Contoh:

1.	premis 1(p) premis 2(q)	: Anita kuliah di Universitas Binadarma. (BENAR) : Anita adalah mahasiswa. (BENAR)
	implikasi (p=>q)	: Jika Anita kuliah di Universitas Binadarma maka Anita adalah
2.	premis 1(p)	mahasiswa.(BENAR) : 2+2=7. (SALAH)
	premis 2(q) implikasi (p=>q)	: 6x2=12. (BENAR) : Jika 2+2=7 maka 6x2=12. (BENAR)

5.  Perakit Bi-kondisional (Biimplikasi)

Di dalam biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya memilki nilai sama-sama benar atau sama-sama salah. Selain itu maka pernyataan akan dianggap salah. Biimplikasi ditunjukan dengan symbol       dengan makna ‘ p ….. Jika dan hanya jika q

…..'

Contoh:

Diketahui pernyataan berikut ini,. p : Eka rajin belajar

q : Eka lulus Ujian Nasioanal

Tuliskan pernyataan majemuk dari dua pernyataan di atas yang diwakili oleh lambang p⇔~q!

Jawab:

1.   p⇔~q : Eka rajin belajar jika dan hanya jika Eka tidak lulus Ujian Nasional.

6.  Kontradiksi

Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh subdtansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

Contoh :

P	q	~q	( ~p L q )	P L ( ~p L q )
B	B	S	S	S
B	S	S	S	S
S	B	B	B	S
S	S	B	S	S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukan kontradiksi dengan alasan yaitu semua

pernyataan bernilai salah (F).

KEGUNAAN TABEL KEBENARAN

Kegunaan tabel kebeneran ialah apakah berdasarkan premis-premis dengan nilai kebenaran tertentu, konklusi sesuatu penalaran itu benar ataukah salah. Maka dari lajur-lajur pada sebuah tabel kebenaran harus dirujuk yang mana yang premis, yang mana yang konklusi.

PENARIKAN KESIMPULAN Silogisme

p → q q → r

————

∴ p → r

Contoh :

Diketahui pernyataan sebagi berikut :

1.   Jika Tio menjadi juara kelas, maka Ibu akan membelikannya sepeda

2.   Jika ibu membelikannya sepeda, maka Tio akan senang

Tentukan kesimpulan yang sah dari dua pernyataan tersebut! Pembahasan

Misalkan : p = Tio menjadi juara kelas

q = Ibu membelikannya sepeda r = Tio senang

Berdasarkan konsep silogisme diperoleh :

Jadi kesimpulan yang sah adalah Jika Tio menjadi juara kelas, maka Tio akan senang.

7.   Tautologi

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar. Contoh pernyataan tautology adalah:

(p ʌ q) => q

Untuk membuktikan pernyataan diatas adalah tautologi, simak tabel kebenaran untuk tautologi

(p ʌ q) => q berikut;

Contoh:

a. ((p => q) ʌ (r => q)) => ((p v r) =>q b. (p ʌ ~q) => p

8.   Ekuivalen

Ekuivalen adalah dua atau lebih pernyataan majemuk  yang memiliki nilai kebenaran yang sama.

Contoh:

~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q

tabel kebenaran pernyataan ekuivalen ~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q:

Hukum-hukum ekuivalen:

a. Hukum Komutatif p ʌ q ≡ q ʌ p

p v q ≡ q v p

b. Hukum Distributif

p ʌ (q v r) ≡ (p ʌ q) v (p ʌ r)

p v (q ʌ r) ≡ (p v q) ʌ (p v r)

c. Hukum Asosiatif

(p ʌ q) ʌ r ≡ p ʌ (q ʌ r)

(p v q) v r ≡ p v (q v r)

d. Hukum Identitas p ʌ T ≡ p

p v F ≡ p

e. Hukum Dominasi / Ikatan

p v T ≡ T

p v F ≡ F

f.  Hukum Negasi p v ~p ≡ T

p ʌ ~p ≡ F

g. Hukum Involusi / Negasi Ganda

~(~p) ≡ p

h. Hukum Idempoten p ʌ p ≡ p

p v p ≡ p

i.  Hukum De Morgan

~( p ʌ q ) ≡ ~p v ~q

~( p v q ) ≡ ~p ʌ ~q

j.  Hukum Absorbsi / Penyerapan p v (p ʌ q) ≡ p

p ʌ (p v q) ≡ p

k. Hukum True dan False

~T ≡ F

~F ≡ T

l.  Hukum Perubahan Implikasi menjadi Disjungsi atau Konjungsi.

p => q ≡ ~p v q

Soal

1.   Eliz

2.   Elsa

3.   Fairuz

4.   Zahra

5.   Dwina

6.   Faris